摘要  色温和相关色温是LED光源的重要参量。从原始光谱数据到色品坐标(U，口)再到色温和相关色温的计算过程相当复杂。需要一种优化算法来简化计算量。因此。从色温的色度学定义出发，简要分析了直接内插法、逐点法和甬数曲线拟合法三种色温计算的经典算法，并分别指出了它们的优缺点．在此基础上提出了二分法这种新的色温优化算法。详细介绍了二分法的基本思想、程序流程等。利用软件编程实现这几种算法，通过普朗克黑体辐射公式计算得到一系列色温的理论光谱和白光LED仪器实际测试光谱。对比二分法和各种经典算法的速度和结果，证明了二分法是一种适合于计算机程序化实现的高精度高速度的色温算法。

关键词光谱学；二分法；色温计算方法，发光二极管#相关色温

1 引言

黑体辐射光源的色温是黑体的绝对温度。当光源的光色与某一温度下黑体辐射光源光色最为接近时，后者的色温即为光源的相关色温?。光源的色温是影响照明质量的重要因素之一，不同色温的光源给人们带来的生理和心理的影响是不同的。因此，在居室照明设计，光源设计以及摄影等行业色温这一概念都起着举足轻重的作用[2’3]。在LED色度学软件中，计算LED光源色温是一个必不可少的程序。而传统的色温算法存在着很多缺陷H]，譬如精度低¨]，计算量大等。因此，设计开发一种优化算法十分必要，能有效提高色温计算的精度和速度。传统的方法一般都是利用解析近似的方法求得色温，这些方法虽然计算量少，但是误差也是很明显的，而最为精确的逐点查表找最小距离的方法却有巨大的计算量。因此，在色温计算中计算量和精确度是互相牵制的两个因素。二分法是一个广泛应用的计算方法，本文利用二分法很好地在这两个因素之间找到了一个平衡点，即利用很少的计算量，获得了逐点法的精确度。

2   色温(相关色温)经典计算法

2．1 内插法

内插法¨’7]的思想是：试图寻求距离被测光源的色坐标点最近的两条等色温线，利用几何作图法估算出该色坐标点的相关色温。

由于在CIE 1960UCS色度图中，如图1所示，所有等色温线均为垂直于黑体轨迹的Ft线，其斜率k，是随着相关色温T变化的，矗一一1／l，其中z为黑体色轨迹与该等温线交点(垂足)处的切线的斜率。

当找到距离被测光源色坐标点(“，口)的最近的两条等温线后，就可以利用公式求出近似相关色温Tc。该方法的精度依赖于分区的数量，分区越多，则内插的精度就越高，但是同时计算量也相应增大。本文对黑体轨迹均匀地分了30个区，即31条等温线。

2．2 逐点法

根据定义，得到(“，u)色坐标后，逐点比较其与黑体轨迹点的距离，取最小值点对应色温即为相关色温值。该方法优点是精确度高，缺点是计算量极其庞大，由于黑体轨迹色温是从1000 K到25000 K，每一个色温对应一个色坐标点，因此需要计算24000多个距离。

2．3曲线拟合法

曲线拟合法[8~1叩的主要思路是，利用解析函数拟合色温计算中的一些变量和自变量。解析函数式可以方便地使用牛顿迭代法等算法得到最小距离点等结果，从而避免了逐点查找比较带来的计算量的增大，也不失为一种好的算法。比如J．L．Gardner的7阶多项式曲线拟合[8]，该作者利用7阶多项式，拟合了黑体温度1000-10000 K之间的辐射轨迹和色温T与色坐标“的函数关系，便于牛顿迭代法的使用和程序的实现。

这种方法的优点是计算量小，一般只需3—4步迭代就可得出结果。但是由于解析函数曲线的拟合度无法重现黑体辐射轨迹，尤其在高温部分，所以缺点是结果误差偏大，曲线拟合范围只局限于1000-10000K之间，超出i0000 K则误差迅速增加。

3二分法优化色温算法

综合2节中几种算法发现，计算色温的数学模型就是寻找CIE 1960UCS色度图中黑体辐射轨迹上与被测色坐标点的最近距离点，提高算法速度的关键，归根结底就是利用一种筛选算法能迅速去除黑体辐射轨迹的最小距离点以外的区域，而利用二分法就能很好地解决这一问题。整个程序的流程如图2所示。设待测光源的色坐标为(“，，7．2，)。

第一步：判断色坐标点所在分区。实验证明，一般光源色温落在1000—25000 K之间，对I．ED而言，色温一般落在2000—10000 K之间。由于等温线垂直于黑体轨迹，按照这个思想，可以将色度图分为四个区，如图3所示。1区中色温归为25000 K，3区中色温归为1000 K，其中两条分界线分别垂直于黑体轨迹中1000 K和25000 K的色温坐标。当光源的色坐标点落在1区和3区时，可直接给出相应的结果。(色温大于等于25000 K和小于等于1000 K)算法的关键是计算落在2区和4区的色坐标的色温值。

第二步：计算距离。取黑体轨迹上中点的色坐标(“。，矶)，则此点将整个黑体轨迹曲线分为两部分，设色温大的一侧为A段，色温小的一侧为B段。如图4所示。计算(M，，u，)与(“。，口。)的距离D。：D，=以瓦=百厂F瓦ji丁。(1)

再取与(“。，口。)相邻(即色温相差一度)的点的色坐标，设为(U：，u：)，并计算其与待测光源的色坐标的距离D：。(此处取色温比大1 K的点)

第三步：确定区间段。比较D。与D：的大小：若D，<D：，则舍掉A段的所有色坐标；反之则舍掉B段的色坐标，剩下的段为新的区间段。

第四步：判断并迭代。确定新区间段的中点并再次运用第二步中的比较距离法，逐渐缩小范围直至剩余最后两个点，则可以直接比较此两点与待测光源坐标的距离从而确定色温。由于本算法的核心是比较均匀色度图上的距离，按照此方法理论上可将误差缩小至1 K。

4二分法与传统方法的比较

4．1 黑体辐射理论光谱测量

利用黑体辐射公式P(d，n—C。d-5(出Ⅳ玎一1)-1得出了一系列不同色温的光谱，波长范围从380 nlTl到780 nnl，利用MATLAB R2008a编程实现上述几种算法并分别计算色温，结果如表1所示。其中．t为逐点法；正为曲线拟合法；L为内插法；n为二分法；5为标准差。S：= ，结果取整。L为某一种Dz一／瓦■iiF干百■=i了。(2) 算法第”次结果，To。为第挖个理论色温值T。。

从表1我们可以得到结论：精确度方面，曲线拟合法与逐点法比在不同色温段都有一定误差，最大达到8 K左右(7005 K)，而且到了10000 K以上色温误差迅速上升达到几十K。内插法误差始终有十几K的误差。二分法始终和作为标准的逐点法一致。比较各种算法的标准差，可以发现二分法和逐点法最小，而曲线拟合法和内插法要大得多。计算量方面，逐点法计算鼍最大，要计算21000个距离。而曲线拟合法由于使用了牛顿迭代法，故计算量最少，4-5次迭代。内插法的计算量取决于分区的多少，在本程序中要计算30次。二分法的计算量只和黑体轨迹的总点数有关，为N=2×lb221000≈30次。乘以两倍是因为每次判断下一个二分分区方向时候需要多计算一个相邻点的距离。

4．2 实际LED光谱测试

选用了几个不同色温段的大功率白光LED光源，使用德国Instrument Systems公司的LED测试系统进行测试，10#一13#LED为厦门华联电子有限公司提供，14#一18#LED为台湾亿光电子有限公司提供。所有数据均是在正向电流350 mA，热沉温度25℃条件下测得。同时，我们导出仪器测试的光谱数据，利用二分法以及本文提及的其他方法再次计算色温，将数据列表进行评测，如表2所示。其中丁e为仪器检测值；T。为逐点法；T．为曲线拟合法；L为内插法；T：为二分法；S为标准差。S：= ，结果取整。L为某一种算法第，2次结果，To。为第以号LED的仪器测得色温值T。。

从表2可以清楚地看出，和仪器检测值相比，二分法的误差大多数在士2 K左右；曲线拟合法则大约在±7 K，个别管子(10#)的误差达到了近9 K，这是由于局部色温段解析函数有较大拟合偏差造成的；内插法则始终存在十几K的误差。依次计算各种算法的标准差，二分法的标准差最小，曲线拟合法其次而内插法最大，因此相比另外两种算法二分法仍是最精确的算法。

5 结论

二分法作为一种新的计算色温的算法，紧扣色温的标准定义，和以往的几种典型算法相比，在保持了逐点法的高精度的基础上，大大减少了计算量。在相同精度下，二分法的计算量是逐点法的0．14％。它在精度和计算量上均超过了分区内插法。虽然它的计算量还是比曲线拟合法大，但是它的高精度性是曲线拟合法所不可比拟的。并且曲线拟合法仅拟合了10000 K以下的黑体轨迹曲线，10000 K以上误差很大。