摘 要:针对大功率白光LED灯作为一种节能、环保的照明工具,在汽车内部和外部照明中应用前景广阔的情况,从单个LED的光学模型出发,建立了多个LED叠加后的光学模型,在此基础上,以多个LED叠加后光场分布的均匀性为依据,利用Matlab仿真工具计算出了LED之间的最佳安装角度为10°。
关键词:LED;光学模型;线性叠加
大功率白光LED作为一种新型的照明光源,具有节能环保、安装体积小和使用寿命长等优点[1],已经得到了广泛的应用,特别是在汽车内部照明中呈现出取代现有普通照明光源的发展趋势。目前,汽车内部照明种类繁多,主要包括照明用顶灯、阅读灯、美容化妆灯、门锁灯和仪表指示灯等,上述各种照明灯均可用大功率白光LED实现。
由于LED存在静电释放损害(ESD)和热膨胀系数(TCE)等效能瓶颈,使得其功率不能做得很大,亮度有限[2-3],而且单个LED的光通量较小,同时LED的出射光具有较强的指向性,出射角度小,因此单个LED在实际应用中受到了很大的限制,尤其不能在亮度要求较高的场合应用。但是,由于单个LED的体积较小,同时LED又属于冷光源,向外辐射的热量较少,这使得多个LED的组合应用成为可能。由于LED的出射光具有较强的指向性,从光轴向两边的衰减速度较快,这使得多个LED叠加之后的光场分布变得不均匀,局部亮度较高,而其他地方亮度则较低,对汽车内部照明效果有很大的影响。因此,笔者将建立LED的光学模型,从LED光场分布的均匀性出发,寻求LED之间的最佳安装角度。
1 LED光学建模
1.1 LED光学建模的步骤
(1)利用现有LED极坐标光学模型,建立单个LED空间坐标光学模型;
(2)将单个LED空间坐标光学模型进行坐标旋转变换;
(3)将多个角度的LED光学模型进行线性叠加,得到LED点阵的光学模型;
(4)利用Matlab等仿真工具评价光场分布的均匀性;
(5)确定LED安装角度。
1.2 单个LED光学建模
由于单个LED的实际尺寸都比较小,可将其视为一个点光源。在目前的有关LED光源研究中,只简单将其处理成点光源而并没有体现光强渐变,使得理论计算与实际情况误差较大。如将单个LED点光源视为光强呈360°均匀分布或在其出射角(光强为中心光强50%处的角定义为出射角)范围内均匀分布,都会产生不同程度的误差,造成最终光学模型的不准确性[4]。
基于上述不足,笔者将单个LED视为一个光强渐变的点光源,其光强分布遵循朗伯余弦定律,图1为朗伯余弦定律示意图。
根据LED光强分布的朗伯余弦定律,可得:I=I0cosθ(1)
式中,I为θ角方向上的光强;I0为LED发光平面法线方向上的光强;θ为观察方向与法线方向的夹角。
与LED点光源距离ρ处的P点照度E为[5]:E=Iρ2=I0cosθρ2(2)
式(2)建立在极坐标的基础之上,利用极坐标与直角坐标之间的转换关系式(3)和式(4),将其转换为直角坐标,可得式(5)。
ρ2=x2+y2+z2(3)
cosθ=xρ=xx2+y2+z2(4)
E=I0xx2+y2+z2x2+y2+z2=I0x(x2+y2+z2)32(5)
2 LED线性叠加光学建模
2.1 空间坐标的旋转变换
建立多个LED线性叠加的光学模型,需要将单个LED的光学模型进行旋转变换[6-7]。如图2所示,点P(x,y,z)在xoy平面内的投影为点D(x,y,0),点P′(x′,y′,z′)在xoy平面内的投影为点D′(x′,y′,0)。如果oD在xoy平面内绕oz轴顺时针方向旋转到了oD′,则由平面上点的旋转定义可知D′的坐标为:
x′=xcosθ-ysinθy′=ycosθ+xsinθz′=0(6)
对应点P′(x′,y′,z′)的坐标如式(7)所示,式(7)即为空间点绕oz轴旋转的坐标变换式。利用式(7)对LED光学模型进行旋转变换,以下的推导过程均将x′、y′和z′记作x、y和z。
x′=xcosθ-ysinθ
y′=ycosθ+xsinθ
z′=z(7)
2.2 模型简化说明
单个LED的实际尺寸比较小,通常情况下将其视为一个点光源是合理的。而多个LED叠加之后的LED点阵能否视为点光源,要视实际情况而定。由于笔者只研究LED之间的安装角度,不考虑LED之间的安装距离,故将LED点阵视为一个点光源是合理的。具体的简化过程如图3所示。
图3中,L1～L7为按一定角度安装的7个LED灯,由于只考虑LED之间的安装角度,不考虑LED之间的安装距离,将这7个LED视为一个点光源P,但这7个LED仍具有各自的安装角度,P点位于坐标原点,建模过程均以该简化模型为基础。
2.3 LED线性叠加光学建模
式(5)是单个LED的光学模型,且其光轴方向与x轴正方向重合。由于LED的出射光具有较强的指向性,光轴方向光强最大,两边按朗伯余弦规律递减,且光强衰减较快,因此,多个LED叠加时,LED之间的安装要有一定的角度,从而扩大光线的出射角,增加照射面积。
由于LED之间的安装存在一定的倾角,因此建立LED点阵的光学模型时,需要将单个LED的光学模型依次旋转一定的角度,然后进行线性叠加,如图4所示。
图4中,LED在xoy平面内绕oz轴旋转任意角度α,利用式(5)和式(7)导出旋转了任意角度α后的单个LED的光学模型为:
E=I0x(x2+y2+z2)32=
I0(xcosα-ysinα)[(xcosα-ysinα)2+(ycosα+xsinα)2+z2]32=I0(xcosα-ysinα)(x2+y2+z2)32(8)
假设有10个相同型号的大功率白光LED按
一定角度线性叠加,依次记为L1,L2,…,L10,其中L1的光轴方向与x轴正方向重合,即L1与x轴的偏转角α1=0,L2,L3,…,L10绕oz轴依次旋转α2,α3,…,α10(旋转角度相对于前一LED灯光轴方向),则各个LED灯光场的数学模型依次为:
E1=I0(xcosα1-ysinα1)(x2+y2+z2)32
E2=I0xcos∑2i=1αi-ysin∑2i=1αi(x2+y2+z2)32
E3=I0xcos∑3i=1αi-ysin∑3i=1αi(x2+y2+z2)32…
E10=I0xcos∑10i=1αi-ysin∑10i=1αi(x2+y2+z2)32
由于LED灯发出的光线互不相干,符合线性叠加原理,从而可以导出式(9)。
E=E1+E2+…+E10=I0(xcosα1-ysinα1)(x2+y2+z2)32+I0xcos∑2i=1αi-ysin∑2i=1αi(x2+y2+z2)32+…+I0xcos∑10i=1αi-ysin∑10i=1αi(x2+y2+z2)32=I0xcosα1+…+cos∑10i=1αi-ysinα1+…+sin∑10i=1αi(x2+y2+z2)32(9)
式(9)即为10个相同型号的LED按一定角度线性叠加后的数学模型,现令α1=0,α2=α3=…=α10=α,则由式(9)可得: E=I0[x(1+cosα+cos2α+…+cos9α)-y(sinα+sin2α+…+sin9α)](x2+y2+z2)32(10)
3 LED安装角度的确定
光场分布的均匀性有不同的衡量指标,笔者从方差最小的角度来进行评价,在式(10)中,使E的方差最小的α值即为最佳α值,按此α值确定的LED安装角度,叠加后的光场分布最均匀。
计算式(10)中E的方差的过程为:假定Mat2lab程序从α=0°开始,以0.1°步距递增,直到α=20°为止。这一假定的合理性在于0.1的安装精度在实际应用中基本能满足要求。如果需要更高的安装精度,只需适当减小步距即可。但是步距越小,需要处理的数据量越大,程序执行时间越长。同时令z=0,即只研究xoy平面上光场分布的均匀性,若要研究其他平面的光场分布情况,只需代入适当的x、y和z值即可[8-9]。
经Matlab处理之后,得到如图5所示的方差-安装角度对应图。由图5可知,安装角度α=10°时方差最小,按照方差最小时的安装角度得到的光场分布最均匀,即最佳安装角度为10°。
通过理论分析也可以证明上述方差变化趋势的正确性。当安装角度很小以至接近于0时,各个LED的光轴方向基本重合,而单个LED的光场是呈余弦规律分布的,因此按照小角度线性叠加的多个LED的光场也近似呈余弦规律分布,从而使得多个LED叠加后的光场分布较为不均匀,方差较大;随着安装角度的逐渐增大,光强较弱的边沿部分相互叠加,使得光场分布逐渐变得均匀,方差减小;随着安装角度的进一步增大,将会出现相邻LED之间的光场发生错开的现象,使得两个LED之间的光照强度很弱,而单个LED光轴方向的光照强度则很强,整个光场的光强分布很不均匀,方差又逐渐增大
4 结 论
笔者在单个LED极坐标光学模型的基础上,建立了单个LED空间直角坐标下的光学模型,然后重点论述了多个LED叠加后光场分布的数学模型,并以这一数学模型为基础,以多个LED叠加后光场分布的均匀性为依据,利用Matlab仿真工具计算出了LED之间的最佳安装角度为10°。
以10°的最佳安装角度将多个LED叠加后安装在车内,用于阅读灯、美容化妆灯等,可以得到最为均匀的光场分布,给驾驶员及乘客提供适当的光照环境。