关键词：ＬＥＤ；光谱匹配优化；遗传算法；超定方程组；非负最小二乘解；相关指数；峰值波长

０　引言
       随着光电技术的发展，发光二极管（ＬｉｇｈｔＥｍｉｔｔｉｎｇＤｉｏｄｅ，ＬＥＤ）的发光效率不断提高，其单色性好、体积小、寿命长、能量消耗低、使用直流电、发热量低和控制灵活等特点［１］使ＬＥＤ 光源在植物栽培、医疗、机器视觉等特殊照明领域的研究受到广泛关注．应用ＬＥＤ 的窄波段特性，能根据人们的需要采用不同波段的ＬＥＤ 模拟产生各种形状的光谱分布，因此光谱匹配技术的研究及应用也显得尤为重要．在生物学领域，光谱匹配能帮助研究人员进行不同光谱照射下生物生长的实验；在医疗领域，可以进行不同的光疗设备的研究；在机器视觉领域，光谱的匹配能用于多光谱图像的采集，使得工业产品的视觉检测可以基于多光谱图像来进行［２～４］．另外，光谱匹配技术还应用于太阳模拟器的光谱设计研究［５］．
      利用ＬＥＤ 来模拟所需光源的目标光谱已成为研究的热点．光谱匹配就是已知目标光谱，利用不同峰值波长和半高宽的ＬＥＤ 匹配出所需要光源的目标光谱，也是光谱的反演［６］．如范铎［７］用一定数量的不同单色的ＬＥＤ 阵列使发出的光充分混合，通过调节变阻器进而改变电流，来实现对ＬＥＤ 的辐通量的调节，从而改变混合光中相应单色光的比例，来模拟太阳光谱；张译文［８］等利用最小二乘法和高斯分布数学模型为基础，实现了非均匀间隔峰值波长的ＬＥＤ 模拟ＡＭ１．５标准太阳光谱分布；刘洪兴［９］等采用溴钨灯和恒流驱动的ＬＥＤ 混合作为积分球内部光源并提出了模拟退火算法作为光谱匹配算法，研究了光谱分布可调谐积分球光源的光谱匹配技术．目前进行光谱匹配的方法主要是利用光谱匹配算法和通过改变电流进行动态可调的光谱匹配技术［７１１］，操作上比较复杂，成本较高．光谱匹配的算法主要采用的是最小二乘法［８］、模拟退火算法［９］、迭代法［１０］等，算法比较复杂，运行速度较慢．所以，提出一种更简单、快捷、高效且适用范围更广的光谱匹配算法具有重要的意义．
       本文基于光谱叠加理论，采用简单遗传算法（ＳｉｍｐｌｅＧｅｎｅｔｉｃＡｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＳＧＡ）［１２］作为光谱匹配算法，通过求解超定方程组的非负最小二乘解，直接得到匹配目标光谱的最优ＬＥＤ 组合比例，来进行光谱的合成，大大简化了通过改变电流来调节光谱匹配问题的流程．
１　光谱构造的原理
１．１　光谱匹配原理
       光源发出的光通常是由各种波长组成的，每种波长具有不同的光谱辐射通量．光源总的辐射通量是各个波长的辐射通量之和．ＬＥＤ 的光谱功率分布表示在ＬＥＤ 的光辐射波长范围内各个波长的辐射功率分布．要得到复合的宽波段光谱，需要不同峰值波长、半高宽的ＬＥＤ 共同作用．根据光谱的叠加原理可得到ＬＥＤ光谱合成的基本数学模型［１３］为犛∧（λ）＝Σ犽犻犛犻（λ） （１）

       式中，犛犻（λ）∞犛λ，犛犻（λ）是单个ＬＥＤ 的光谱分布，犽犻为未知的ＬＥＤ 的系数．虽然实际光谱曲线是连续的，但实验测得的光谱数据都是对应特定波长的离散数据．假定有目标光谱的数据组｛λ犻，狔 ｝ 犻（犻＝１，２，…，犿），并用ＬＥＤ 的相对光谱数据作为拟合基函数犛犼（λ）（犼＝１，２，…，狀），若以犳（λ）＝犽１犛１（λ）＋犽２犛２（λ）＋ … ＋犽狀犛狀（λ）来拟合此目标光谱数据组，必须适当地选取拟合参数犽１，犽２，…，犽狀才能提高拟合准确度．记向量犛１ ＝ （犛１（λ１），犛１（λ２），…，犛１（λ犿））Ｔ，构造ＬＥＤ 的光谱矩阵犃＝ 犛１，犛２（ ，…，犛 ） 狀，目标光谱矩阵犫＝ 狔１，狔２（ ，…，狔 ） 犿Ｔ，系数矩阵犡＝（犽１，犽２，…，犽狀）Ｔ．当犿＞狀时，得到超定方程组为犃犡＝犫（２
      通常情况下，超定方程组是无解的，但它的近似解是可以求得的．超定方程组的最小二乘解是一种广义解，是指使残差狉＝犫－犃犡的２范数达到极小值时的解，因此它可以使得总体误差较小．即‖犫－犃犡 ‖２＝ｍｉｎ犡∈犚犿‖犫－犃犡‖２ （４）
     在实际应用中，因为ＬＥＤ 的转换系数犽犻只能取非负值，所以只希望得到超定线性方程组的非负最小二乘解犡 ．如果求得了非负最小二乘解，那么实际合成的光谱分布就为犛∧＝犃犡 （５）
      通过计算残差平方和（ＲｅｓｉｄｕａｌＳｕｍ ｏｆＳｑｕａｒｅｓ，ＲＳＳ）和相关指数（犚２），可定量评价光谱匹配拟合的效果．残差平方和的定义为ＲＳＳ＝Σ狀犻＝１狔∧犻－狔犻）２ （６）
      式中狔犻表示目标数据，狔∧犻表示拟合的数据．在回归分析中，ＲＳＳ表示的意义是拟合的数据与目标数据的整体偏差的大小［１３］．相关指数的定义为犚２＝１－Σ狀犻＝１（狔犻∧－狔犻）２Σ狀犻＝１（狔犻－狔）2（７）
      式中狔是目标数据组的数学期望．相关指数的意义是在非线性回归分析中表征拟合曲线与原始数据的相似程度，越接近于１，表明拟合效果越好，相应的解也就越精确．对于光谱匹配而言，相关指数越大，目标光谱和拟合光谱相似度就越高．
１．２　光谱匹配算法
      遗传算法是一种借鉴生物界自然选择和遗传机制的高度并行、随机、自适应的全局优化概率搜索算法［１４］．Ｍｉｃｈｉｇａｎ 大学的Ｊ．Ｈｏｌｌａｎｄ教授提出的简单遗传算法（ＳｉｍｐｌｅＧｅｎｅｔｉｃＡｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＳＧＡ）由编解码、个体适应度评估和遗传运算三大模块构成［１２］．其算法求解步骤为：
      １）随机产生十进制编码规模为１００的初始群体；
      ２）以最小二乘误差平方和为目标，建立评价群体优劣的适应度函数；
      ３）在适应度的基础上，反复对群体进行遗传运算，最后得到满意或最优解．

      光谱匹配技术可看作优化组合问题，即在众多ＬＥＤ 组合中寻找目标光谱分布的最佳匹配组合．采用遗传算法作为光谱匹配算法，可以得到匹配目标光谱的最优ＬＥＤ 的组合比例．

２　模拟实验
      通过ｍａｔｌａｂ软件对波长为３７０～８３０ｎｍ 的ＬＥＤ进行光谱拟合，拟合函数［１５］为
               犛（λ）＝犕ｅｘｐ －３．２２１３λ－λ狅Δ （ ） λ ［ ２·ｅｘｐ －０．３λ－λ狅（ ）］ λ（８）
      基于前述的光谱构造原理，将波长范围为３７０～８３０ｎｍ 的ＣＩＥＤ６５标准光和ＡＭ１．５标准太阳光谱作为目标光谱，利用不同峰值波长和半高宽的单色ＬＥＤ进行光谱匹配．已知采用峰值波长间隔分别为１５ｎｍ、２０ｎｍ、３０ｎｍ 的波长范围在３７０～８３０ｎｍ 的ＬＥＤ 的光谱作为式（２）的犃，目标光谱的数据为犫，利用简单遗传算法计算求非负最小二乘解，得出各个不同峰值波长和半高宽时单色ＬＥＤ 的组合比例，详细数据见表１～表３，进而对单色ＬＥＤ 进行匹配模拟．图１ 为ＣＩＥＤ６５标准光源进行匹配的结果．图２为ＡＭ１．５标准太阳光谱进行匹配的结果．
     在工程实际应用中，ＬＥＤ 产品的峰值波长并不是等间隔的，有些波长的ＬＥＤ 很难获得，为进一步说明算法的实用性，利用市面上Ｅｐｉｔｅｘ 品牌的３６ 种单色ＬＥＤ 在波长３７０～８３０ｎｍ 内分别对ＣＩＥＤ６５ 标准光和ＡＭ１．５标准太阳光谱进行目标光谱的匹配，每种ＬＥＤ 光谱数据根据实测光谱的峰值波长和半高宽利用式（８）进行拟合得到．同样地，利用简单遗传算法可求得每种ＬＥＤ 的最佳组合比例，具体详见表４，目标光谱的匹配结果如图３．
      利用相关指数来评价目标光谱曲线和拟合曲线的相似程度，所有的相关指数均大于０．９９，效果十分理想，其结果见表５．从图表结果可以看出，对于ＣＩＥＤ６５、ＡＭ１．５标准光而言，拟合的光谱和目标光谱十分近似，匹配度较高；利用简单遗传算法求得的最优ＬＥＤ组合比例可以进一步推得所需要的ＬＥＤ 光源的组合数量，简化了光源匹配技术的流程．由图可知，当ＬＥＤ峰值波长间隔小时，光谱的纹波幅度较小，光谱曲线比较平滑；当峰值波长间隔太大时，相关指数也相应地减小，光谱图上出现的尖峰较多，光谱的平滑效果较差，匹配误差较大；而当峰值波长间隔太小时，虽然拟合的准确度较高，但需要的ＬＥＤ 的种类数较多，工程上不易实现．因此，在光谱匹配时，需要选取适当的峰值波长间隔的ＬＥＤ，峰值波长的间隔不能太大，也不能太小．另外，采用简单遗传算法所得的相关指数均好于采用最小二乘法［１３］所得的结果，拟合准确度较高，利用简单遗传算法可以并行处理，运行较快，避免了模拟退火算法［９，１４］、迭代算法［１０］计算时收敛速度慢、效率低的缺点．因此，将该算法用于光谱匹配技术，具有重要的工程实践意义．
３　结论
      从工程实践要求出发，提出了利用光谱匹配算法来实现目标光谱匹配的优化组合技术．引入ＳＧＡ 算法，以ＣＩＥＤ６５和ＡＭ１．５标准光的光谱为例，采用不同峰值波长和半高宽的单色ＬＥＤ 及市面上现有的Ｅｐｉｔｅｘ品牌的ＬＥＤ 仿真目标光谱，计算最优的ＬＥＤ组合比例．仿真实验结果表明，两种光谱的拟合误差均比较小，说明单色的ＬＥＤ 完全能够定量地匹配出所需光源的目标光谱，已知目标光谱的数据可以推测不同波长的单色光ＬＥＤ 的数值比例，也可将一定数量的不同单色的ＬＥＤ 发出的光充分混合，将混合的光谱与目标光谱比较并进行拟合，来实现对ＬＥＤ 的辐亮度的调节，从而改变混合光中相应单色光的比例，最终改变混合光的光谱．此算法简单易操作、运行速度快、拟合效率高、失配误差小、准确度高等，为基于ＬＥＤ 光源的特殊照明灯具的开发提供了一种全新的方法．