1 引 言

保偏光纤是20世纪80年代发展起来的一种特种光纤，它在通信、传感等领域有着广泛的应用[1-3]。保偏光纤的种类很多，按产生双折射的原因大致可以划分成三类：应力致偏型、几何形状致偏型和波导结构致偏型[4]。本文主要研究应力致偏型，在制作光纤时，当温度达到光纤可以被拉制的温度时，光纤处于无应力状态；随着光纤冷却，由于纤芯、包层、应力区的膨胀系数不同，产生热应力，引起双折射。对于应力场分布和双折射的求解，1984年Chu等[5]运用热弹性位移势能函数得到了几种常见应力型光纤双折射的解析解，如熊猫、领结和椭圆包层光纤。这几种光纤是形状较为规则的应力型保偏光纤。此外由于各种有限元软件的出现，应力光纤的分析已经多样化[6-7]，但是对于应力区形状不规则的其他应力型光纤，其解析解并不符合文献[5]中的公式。因此本文的目的是提出一种不需要利用软件模拟而是直接计算任意形状应力区的光纤在纤芯处的应力场分布和双折射大小的解析方法。1991年Tsai等[8]提出了一种叠加的思想，对于由规则形状的应力区组成的多应力区光纤，总的应力场分布可由各应力区的应力场叠加而得[8]。

基于这种叠加的思想，本文提出了应力微元的分析方法，并通过COMSOL Multiphysics软件的仿真分析验证了这一分析方法的正确性与可行性。

2 基本原理

2.1 应力场分析理论

当弹性体的温度有所改变时，它的每一个部分都将由温度的升高或降低而趋于膨胀或收缩。但由于弹性体所受的外在约束，以及各个部分之间的相互约束，这种膨胀或收缩不能自由地发生，于是就产生了应力。

在弹性体内某点P的邻域内作一个小六面体元，它的6个表面分别与坐标面平行，将每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与3个坐标轴平行，如图1所示，其中图1(a)3个表面的外法向分别与坐标方向相同，图1(b)中其余3个表面的外法向则分别与坐标方向相反。

光纤可近似看成两端无限延伸的线，由对称性可知，应变只会发生在横截面内，它属于平面应变的问题，因此由弹性体的物理方程可得：

式中v为泊松比，E为杨氏模量，a为应力膨胀系数，T为温度。(4)式是研究应力型光纤中应力场分布的基本方程，加上光纤的自由边界条件和不同区域的衔接条件，即可求解其完整的应力场。

2.2 光弹效应

双折射是光束入射到各向异性的晶体后分解为两束光并沿不同方向折射的现象，这两束光是振动方向互相垂直的线偏振光。当热应力作用于光纤纤芯时，纤芯就如同晶体一样，表现出各向异性的折射率，呈现双折射性质，x方向传播和y方向传播的两束光的折射率不相等，它们与应力分布有关，这种现象即为光纤中的光弹性效应。

在三维应力状态下，任意材料的应力可用应力椭球表示，椭球的3个主轴即为该点的应力主轴，应力椭球的方程为

光纤中任一点的光学性质在几何上也可以用一个折射率椭球来表示。椭球的3个主轴即为该点的光学主轴，折射率椭球的方程为

理论分析和实验证明：光纤由应力引起的双折射效应，其主折射率与对应的主应力方向相同；在数值上，折射率的变化与主应力呈线性变化关系：

式中 Nx ，Ny ，Nz 分别为沿x轴、y轴、z轴方向上的折射率，σx ，σy ，σz 为主应力，N0 为当应力为零时材料的折射率，C1 ，C2 为材料的应力光弹系数[9]。将(8)式中两式两两相减得：

式中 C =C2 -C1 称为材料的相对应力光弹系数。对于应力型光纤，考虑横截面内的应力在纤芯处引起的双折射，可表达为 B =Nx -Ny = (C2 -C1)(σx -σy ) 。

3 微元应力场的仿真分析

利用COMSOL Multiphysics软件中的固体力学模块，数值模拟微元应力区光纤在纤芯处的应力场分布和双折射大小。在保持光纤材料、结构不变的情况下，改变应力微元的形状、放置方向及其到纤芯的距离，研究光纤在纤芯处应力场分布和双折射大小的变化。表1是仿真中所使用的光纤材料参数[10]。表1中 αcore ，αclad ，αsap 分别对应纤芯、包层、应力区的膨胀系数；Ncore ，Nclad ，Nsap 分别为初始温度 T0 、应力为0时纤芯、包层、应力区的折射率；T0 是拉制光纤时的初始温度，T1 是冷却后的室温。

3.1 应力分布与应力微元形状的关系

图2、图3为仿真的光纤结构横截面主应力 σ1 和 σ2 的分布图。计算中光纤参数如下：纤芯半径 c = 3.5 μm ，光纤外包层半径 R = 62.5 μm ，波长 λ = 1550 μm 时为单模光纤(SMF)；应力微元是一个半径 r为1 μm 的圆，微元中心到纤芯的距离 d = 15 μm 。在纤芯中心，也就是几何模型原点处，切应力 τ 为0，σ1 =σx ，σ2 =σy 。

对于上述建立的光纤模型中，其在纤芯处的主应力为 σ1 = 7.8763 × 107 N/m2 ，σ2 = 7.8011 × 107 N/m2 ，应力双折射 B = (C2 -C1)(σx -σy ) = 2.58056 × 10-6 。

保持应力微元的面积不变，改变微元形状，使其分别为圆●(标号为1)。矩形(长宽比为2∶1)■(标号为2)、正方形■(标号为3)、菱形◆(标号为4)、三角形不同放置▲(标号为5)、? (标号为6)、? (标号为7)，研究其应力分布情况。图4为微元中心到纤芯的距离 d同为15 μm 时，几种不同形状应力微元在纤芯中心处的双折射大小的比较，其中图4(a)中应力微元的面积为 π ，图4(b)中应力微元的面积为2.25 π ，图4(c)中应力微元的面积为4 π ，表2是这几种情况所对应的仿真值。

图 4(a)中 B = (2.58585 ± 0.01005) × 10-6 ，相对误差小于 0.3887%；图 4(b)中 B = (5.8346 ± 0.0377) × 10-6 ，相对误差小于 0.6461%；图 4(c)中 B = (1.04145 ± 0.01295) × 10-5 ，相对误差小于 1.2435%。由此可以看出，应力微元形状不同，但纤芯中心处双折射大小相差很小，且应力微元面积越小，相对误差越小，因此当应力微元足够小的情况下，应力场及其双折射大小与应力微元的形状无关。当微元中心到纤芯的距离d取其他值时，结论相同。

3.2 应力分布与应力微元放置方向的关系

保持应力微元面积不变，微元中心到纤芯的距离d同为15 μm ，改变应力微元的放置方向，将应力微元旋转 0° 到180° ，研究单应力区光纤纤芯中心处的双折射是否发生变化。以具有代表性的各向异性较高的矩形■(长宽比分别为2∶1和3∶1)为例进行说明，结果如图5所示，其中图5(a)中应力微元的面积为 π ，图5(b)中应力微元的面积为2.25 π ，图5(c)中应力微元的面积为4 π 。图中星号代表长宽比为2∶1的矩形，圆形标号代表长宽比为3∶1的矩形。由图5可以看出：图5(a)中 B = (1.2871 ± 0.0144) × 10-6 ，相对误差小于1.1188%，图 5(b)中 B = (2.90345 ± 0.06455) × 10-6 ，相对误差小于 2.2232%，图 5(c)中 B = (5.1691 ± 0.1952) × 10-6 ，相对误差小于3.7763%。由此可以看出：矩形的旋转角从 0° 到180° 变化时，纤芯中心处的双折射B变化不大，且应力微元面积越小，相对误差越小，说明对充分小的应力微元来说，应力场的大小和双折射与应力微元的放置方向无关。

3.3 应力分布与应力微元到纤芯距离的关系

对比图4和图5的结果可以发现：应力大小和纤芯中心处的双折射B与应力微元的形状和放置方向无关。为了研究应力大小及其双折射与距离的关系，为方便起见，下面就以圆形应力微元为例加以仿真分析。

保持应力光纤的材料和结构参数不变，应力区为 r = 1 μm 的圆，改变应力微元中心到纤芯中心的距离d，从离纤芯较近处到包层边界，用COMSOL Multiphysics仿真可得到纤芯中心处的双折射如图6中星号所示。可以看出，应力微元靠近纤芯时，应力场大小和双折射与距离近似呈平方反比关系。

事实上，根据热应力理论，Chu等[5]得到了圆形应力区熊猫光纤在纤芯中心处双折射的解析解。

式中几何参数a，b，r，R如图7熊猫光纤的横截面所示。 Δα = αclad - αsap 为包层非应力区与应力区的热膨胀系数差，ΔT = T1 - T0 为冷却成型时的室温与应力区材料的软化温度差。

当应力区半径很小，即为本文讨论的应力微元时，同样符合(10)式。将COMSOL Multiphysics的仿真结果与理论解析解比较，结果如图6所示。可以看出，圆形应力微元纤芯中心处的双折射仿真值与理论值吻合很好。当应力微元与纤芯距离较近时 (d? R)，双折射与距离的关系可近似表达为

式中 Δs是应力微元的面积。可知，双折射与距离呈平方反比关系。因此，任意应力微元的应力场与应力微元的形状和放置方向无关，对任意应力微元，其在纤芯中心处引

起的双折射均可由(10)式或(11)式表达。对任意形状的较大应力区，由于各向同性材料是线弹性的，应力区在纤芯处的应力场可通过应力微元的线性叠加而得，因此，其在纤芯中心处的应力双折射可运用(10)式或(11)式通过应力微元的积分求得。

4 结 论

提出了一种基于应力微元求解任意形状应力区光纤的应力场分布及其双折射的方法,并在 基于COMSOL Multiphysics软件中的固体力学模块上，验证了该应力微元分析方法的正确性和可行性。在保持光纤材料、结构不变的情况下，改变应力微元的形状，得到纤芯中心处应力大小和双折射与应力微元形状无关的结论。若改变应力微元的放置方向，其纤芯中心处的应力大小和双折射也与应力微元的放置方向无关。通过改变应力微元到纤芯的距离，得到了应力大小和双折射与距离的关系，它与理论分析结果完全一致；在应力微元与纤芯距离较近时，其应力大小和双折射与距离呈近似平方反比关系。通过以上3个方面的分析，可以验证应力微元分析方法的正确性和可行性。因此，对任意形状应力区光纤在纤芯处的应力大小及其双折射，可先将应力区划分为应力微元，然后运用(10)式在应力区上进行积分即可，这对于应力型光纤的双折射大小分析及其光纤结构的优化设计具有重要的意义。

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